최소신장트리(Minimum Spanning Tree, MST)

신장트리(Spanning Tree)

  신장트리란 특정한 그래프에서 모든 정점을 포함하는 그래프이다.

  스패닝트리라고도 하며 그래프의 최소 연결 부분 그래프이다.

  최소연결이라는 것은 간선의 수가 가장 적다는 것을 의미한다.

  n개의 정점을 가지는 그래프의 최소 간선의 수는 (n - 1)개 이고, (n - 1)개의 간선으로 연결되어 있으면 필연적으로

  트리형태가 되는데 이것이 바로 Spanning Tree가 된다.

  즉, 그래프에서 일부 간선을 선택해서 만든 트리이다.

 

Spanning Tree의 특징

    

연결그래프 (정점 5개, 간선 6개)

신장트리 중의 일부(정점 5개, 간선 4개)

  DFS, BFS를 이용하여 탐색 도중에 사용된 간선만 모으면 그래프에서 신장트리를 찾을 수 있다.

  하나의 그래프에는 많은 신장트리가 존재할 수 있다.

  Spanning Tree는 트리의 특수한 형태이므로 모든 정점들이 연결되어있어야 하고 사이클을 포함해서는 안된다.

  따라서 Spanning Tree는 그래프에 있는 n개의 정점을 정확히 (n - 1)개의 간선으로 연결한다.

 

Spanning Tree의 사용사례

  통신네트워크 구축.

  예를 들어 회사내의 모든 전화기를 가장 적은 수의 케이블을 사용하여 연결하고자 하는 경우

  n개의 위치를 연결하는 통신 네트워크를 최소의 링크(간선)를 이용하여 구축하고자 하는 경우에

  최소 링크의 수는 (n - 1)개가 되고 따라서 Spanning Tree 가 가능해진다.

 

최소신장트리(Minimum Spanning Tree, MST)

  최소신장트리(Minimum Spanning Tree)란 스패닝 트리 중에서 간선의 가중치 합이 가장 작은 트리를 의미한다.

  각 간선의 가중치가 동일하지 않을 때 단순히 가장 적은 간선을 사용한다고 해서 최소비용이 얻어지는것은 아니다.

  MST는 간선에 가중치를 고려하여 최소비용의 Spanning Tree를 선택하는 것을 말한다.

  즉, 네트워크(가중치를 간선에 할당한 그래프)에 있는 모든 정점들을 가장 적은 수의 간선과 비용으로 연결하는 것이다.

 

MST의 특징

  간선의 가중치 합이 최소여야 한다.

  n개의 정점을 갖는 그래프에 대해 반드시 (n - 1)개의 간선만을 사용해야 한다.

  사이클이 포함되어서는 안된다.

 

MST사용사례

  통신망, 도로망, 유통망에서 길이, 구축비용, 전송시간 등을 최소로 구축하려는 경우

  도로건설 : 도시들을 모두 연결하면서 도로의 길이가 최소가 되도록 하는 문제

  전기회로 : 단자들을 모두 연결하면서 전선의 길이가 가장 최소가 되도록 하는 문제

  통신 : 전화선의 길이가 최소가 되도록 전화케이블 망을 구성하는 문제

  배관 : 파이프를 모두 연결하면서 파이프의 총 길이가 최소가 되도록 연결하는 문제

 

MST구현방법

  1. Kruskal MST 알고리즘

    탐욕적인 방법(greedy method)을 이용하여 네트워크(가중치를 간선에 할당한 그래프)의 모든 정점을

    최소비용으로 연결하는 최적 해답을 구하는 것.

    MST가 최소비용의 간선으로 구성되고 사이클을 포함하지 않는다는 조건에 근거하여 각 단계에서 사이클을

    이루지 않는 최소비용간선을 선택한다.

    간선 선택을 기반으로 하는 알고리즘이다.

    이전단계에서 만들어진 신장트리와는 무조건 최소 간선만을 선택하는 방법이다.

 

  과정

    그래프의 간선들을 가중치의 오름차순으로 정렬한다.

    정렬된 간선 리스트에서 순서대로 사이클을 형성하지 않는 간선을 선택한다.

    즉, 가장 낮은 가중치를 먼저 선택한다.

    사이클을 형성하는 간선을 제외한다.

    해당 간선을 현재의 MST의 집합에 추가한다.

 

  크루스칼 알고리즘 예제코드

    myyoun.tistory.com/109

 

  2. prim MST 알고리즘

    시작 정점에서부터 출발하여 신장트리 집합을 단계적으로 확장해나가는 방법

    정점 선택을 기반으로 하는 알고리즘이다.

    이전단계에서 만들어진 신장트리를 확장하는 방법이다.

 

  과정

    시작단계에서는 시작 정점만이 MST집합에 포함된다.

    앞 단계에서 만들어진 MST집합에 인접한 정점들 중에서 최소 간선으로 연결된 정점을 선택하여 트리를 확장한다.

    즉, 가장 낮은 가중치를 먼저 선택한다.

    우위 과정을 트리가 (n - 1)개의 간선을 가질때까지 반복한다.

 

  프림 알고리즘 예제코드

    myyoun.tistory.com/108

 

 

 

 

 

레퍼런스

gmlwjd9405.github.io/2018/08/28/algorithm-mst.html